关于求极限对几个问题的思考和总结

1、无穷小的等价代换问题

最常见的疑问是，无穷小是否能在加减法中进行等价替换？

等价替换其实是麦克劳林展开式的一个"特例"：

以sinx~x为例：

x只是sinx展开的一部分，当sinx被替换成x时，它的精度被下降了。

而精度是造成在加减法时等价替换出现错误的罪魁祸首。

一开始思考的是分子是多项式的情况：

造成这种错误，是因为sinx和tanx在展开时，没有到立方项。

为什么要到立方项呢？ 跟分母有关

因为分子两者运算后，立方项前的系数并不为0，因为立方项和分母的比值是一个不为0的常量。结果是个常量又怎么能忽略呢？

当然，sinx和tanx可以继续往后展开，因为展开越多就证明该多项式越等价与该三角函数。但是没必要，展开后发现高阶项与分母比值都是0了~

也就是说分子展开的情况要根据分母来判断

分子阶数大于等于分母的就好啦。

分母是多项式怎么替换

分母多项式，各项展开后的运算，保证结果是不为0的最低项就好了。

2、所谓求极限值需要的“同时性”

一开始，是被这道题搞懵的：

来自汤老的习题~

汤老在解释的时候说的是求极限值要整个式子同时求，我听的云里雾里，不太明白。后来看到一位大佬在知乎上对这个问题做出解释，才恍然大悟~

讲一下自己的思考：

一切有极限的运算都要通过四项基本运算准则

为什么强调有极限呢？因为极限不存在的时候，是通过其他方法来判断（例如：存在+不存在，存在*不存在）。极限不存在，本身就没满足四项基本运算前提条件，前面所说的其他方法不属于四项基本运算，所以两者是不冲突的。

回到汤老这题中：

由于分母趋于无穷，即极限不存在，所以不能使用四项基本准则

也就是说：不能对分子分母分开求极限再相除

正确的做法是，它们只能当一个整体先进行等价变换

直到分母不存在：此时只剩一项，自然也没有什么运算准则可言了~

注意一点是：分子的e并不是通过重要极限2得出来的，重要极限2是求极限值的一个等式，前面说了不能对分子分母分开求极限。 它只是换了个等价的形式，并没有求极限值，所以跟四项运算准则不冲突~

等价代换和求极限值不是一回事~四项运算准则只针对计算极限值而言

以前总是烦，有些项代入趋向的值就是一个常数了，但有时候直接代又是错的。

要看它是否满足四项基本运算~

还有一种情况：

汤老说，当某个因子，代入x可以成为一个非零的数，可以将该定项（非零因子）提到外面去。其实这个做法也是符合四项基本准则的，我觉得这是一种经验方法，因为一开始并不知道这个式子是否有极限。

非零因子提出是不影响整体极限的情况的：

首先如果把非零因子当作f(x)，那么与之相乘的为g(x)。

原式为limf(x)g(x)

非零因子极限f(x)是存在的。

假设g(x)极限不存在，提出后算的结果肯定是不存在。提出没问题

假设g(x)极限存在，完全符合运算准则，没毛病。提出没问题

所以说因子的提出，不会影响最终想求出的结果。

它不是一种定理，是一种做题方法。

记录一下最近的思考，方便以后自己回顾和纠错~