矩阵论笔记(一)
文章目录
1.线性空间1.1 线性空间的定义1.2 线性空间的性质1.3 线性空间的维数1.4 线性空间的基1.5 基变换与坐标变换1.5.1 基变换：1.5.2 坐标变换：
2. 线性子空间2.1 定义2.2 性质2.3 子空间的运算2.3.1 和空间2.3.2 交空间
3. 矩阵的值域、核空间3.1 向量张成的空间3.2 矩阵的值域3.3 矩阵的核空间
1.线性空间
1.1 线性空间的定义
设非空集合
V
V
V，一个数域
K
K
K，
x
,
y
,
z
∈
V
x,y,z \in V
x,y,z∈V，
k
,
l
∈
K
k,l\in K
k,l∈K，如果
V
V
V满足加法封闭和数乘封闭，则称
V
V
V为线性空间。
加法封闭： 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。数乘封闭： 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。
1.2 线性空间的性质
零元素唯一任一元素的负元素唯一设 数
k
,
0
,
1
∈
K
k,0,1\in K
k,0,1∈K，向量
x
,
0
,
−
x
∈
V
x, 0, -x \in V
x,0,−x∈V，有：
0
x
=
0
0x=0
0x=0
(
−
1
)
x
=
−
x
(-1)x=-x
(−1)x=−x
k
0
=
0
k0=0
k0=0若
k
x
=
0
kx=0
kx=0, 则
k
=
0
k=0
k=0 或
x
=
0
x=0
x=0
1.3 线性空间的维数
线性空间
V
V
V中线性无关向量组所含向量最大个数
n
n
n，称为
V
V
V的维数，记作
d
i
m
V
=
n
dimV = n
dimV=n。
n
n
n 维线性空间记作
V
n
V^n
Vn。
1.4 线性空间的基
n
n
n维线性空间中，任意
n
n
n个线性无关的向量
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn，构成该空间的一组基。这n个线性无关的向量称作基向量。
空间中任意一个向量
x
x
x 可由这组基唯一表示，即
x
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n
x=a1x1+a2x2+...+anxn 。 此时，称
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
a_1, a_2, ..., a_n
a1,a2,...,an 为
x
x
x 在该基下的坐标，记为
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
T
[a_1, a_2, ..., a_n]^T
[a1,a2,...,an]T。
向量
x
x
x在基
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn 下的矩阵表示为：
x
=
[
x
1
x
2
.
.
.
x
n
]
⋅
[
a
1
a
2
.
.
.
a
n
]
x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}
x=[x1x2...xn]⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤
1.5 基变换与坐标变换
1.5.1 基变换：
设
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn 是 空间
V
n
V^n
Vn 的旧基，
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
y_1,y_2,...,y_n
y1,y2,...,yn 是新基。新基可以用旧基表示为
[
y
1
y
2
.
.
.
y
n
]
=
[
x
1
x
2
.
.
.
x
n
l
i
a
n
g
g
e
]
⋅
C
n
×
n
\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n}
[y1y2...yn]=[x1x2...xnliangge]⋅Cn×n 其中，矩阵
C
n
×
n
C_{n×n}
Cn×n为 (旧基到新基的) 过渡矩阵。
1.5.2 坐标变换：
向量
x
x
x在旧基
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn下的矩阵表示：
(1)
x
=
[
x
1
x
2
.
.
.
x
n
]
⋅
[
a
1
a
2
.
.
.
a
n
]
x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1}
x=[x1x2...xn]⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤(1) 其中 ，
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
T
[a_1, a_2, ..., a_n]^T
[a1,a2,...,an]T为
x
x
x 在基
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn下的坐标。
向量
x
x
x在新基
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
y_1,y_2,...,y_n
y1,y2,...,yn下的矩阵表示：
(2)
x
=
[
y
1
y
2
.
.
.
y
n
]
⋅
[
b
1
b
2
.
.
.
b
n
]
x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2}
x=[y1y2...yn]⋅⎣⎢⎢⎡b1b2...bn⎦⎥⎥⎤(2) 其中 ，
[
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
n
]
T
[b_1, b_2, ..., b_n]^T
[b1,b2,...,bn]T为
x
x
x 在基
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
y_1,y_2,...,y_n
y1,y2,...,yn下的坐标。 由式(1)=式(2)，得
[
b
1
b
2
.
.
.
b
n
]
=
C
−
1
⋅
[
a
1
a
2
.
.
.
a
n
]
\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡b1b2...bn⎦⎥⎥⎤=C−1⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤ 称作 向量
x
x
x在基变换C下的坐标变换公式。
个人理解：
对线性空间作变换，也就是对线性空间的基做变换。（这是因为，线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示，即一组基可决定一个空间。但是，一个空间可对应不同的多组基）线性空间中的一个向量本身是不变的，但对基作变换后，基改变，从而基下的坐标改变，称为坐标变换，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。
2. 线性子空间
2.1 定义
V
1
V_1
V1是线性空间
V
V
V的非空子集和，
V
1
V_1
V1中满足数乘封闭和加法封闭，则称
V
1
V_1
V1是
V
V
V的线性子空间或子空间。
个人理解：三维空间中的一个过原点的二维平面，或一条过原点的直线，都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。
2.2 性质
线性子空间也是线性空间。（定义中满足数乘、加法封闭，即线性子空间首先要是线性的）非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身以及零空间he。一个线性空间的子空间，其维数小于等于线性空间的维数（显然）。
延伸：n元齐次线性方程组的解空间
W
W
W 是
n
n
n维向量空间
V
n
V^n
Vn 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。
2.3 子空间的运算
2.3.1 和空间
V
1
+
V
2
=
{
x
1
+
x
2
∣
x
1
∈
V
1
,
x
2
∈
V
2
}
V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \}
V1+V2={x1+x2 ∣ x1∈V1,x2∈V2}
2.3.2 交空间
V
1
∩
V
2
=
{
a
∣
a
∈
V
1
且
a
∈
V
2
}
V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \}
V1∩V2={a ∣ a∈V1且a∈V2}
3. 矩阵的值域、核空间
3.1 向量张成的空间
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn张成的空间，记为
V
1
=
L
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
{
k
1
x
1
+
k
2
x
2
+
.
.
.
+
k
n
x
n
}
V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \}
V1=L(x1,x2,...,xn)={k1x1+k2x2+...+knxn}其中
k
i
k_i
ki为常数。
个人理解：类似以向量组为基所生成的空间。
3.2 矩阵的值域
矩阵
A
∈
C
m
×
n
A\in C^{m×n}
A∈Cm×n的
n
n
n 个列向量为
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
a_1, a_2, ..., a_n
a1,a2,...,an，则矩阵A的值域为
R
(
A
)
=
L
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
=
{
y
∣
y
=
A
x
}
R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \}
R(A)=L(a1,a2,...,an)={y ∣ y=Ax}
个人理解：矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间。 若把
A
A
A 看作一种线性变换，那么矩阵的值域
y
=
A
x
y=Ax
y=Ax 为线性空间中的原向量
x
x
x 经线性变换后所得到的象。
3.3 矩阵的核空间
N
(
A
)
=
{
x
∣
A
x
=
0
}
N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \}
N(A)={x ∣ Ax=0} 核空间也叫零空间，零空间的维数为零度，记作
n
(
A
)
n(A)
n(A) 。
个人理解：使
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 成立的
x
x
x。 若把
A
A
A 看作一种线性变换， 那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量（原象）。